Наименьшее общее кратное (НОК). Как найти число кратное 3


НОК. Наименьшее общее кратное чисел.

  •  Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. Пример. НОК(24, 42)=168. Это самое маленькое число, которое делится и на 24 и на 42.
  •  Для нахождения НОК нескольких данных натуральных чисел надо: 1) разложить каждое из данных чисел на простые множители; 2) выписать разложение большего из чисел и умножить его на недостающие множители из разложений других чисел.
  •  Наименьшее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

Пример 1. Найти НОК(35; 40).

Разложим числа 35 и 40 на простые множители.

35=5∙7,   40=2∙2∙2∙5 или 40=23∙5

Берем разложение большего числа 40 и дополняем его недостающими         множителями.  НОК(35; 40)=23∙5∙7=40∙7=280.

Ответ: НОК(35; 40)=280.

 

Пример 2. Найти НОК(45; 54).

Раскладываем числа 45 и 54 на простые множители.

45=32∙5,  54=2∙33.

Берем разложение числа 54 и умножаем на недостающие множители из разложения числа 45, т. е. на число 5.

НОК(45; 54)=2∙33∙5=54∙5=270.

Ответ: НОК(45; 54)=270.

 

Пример 3. Найти НОК(75; 120; 150).

Разложим числа 75, 120 и 150 на простые множители.

75=3∙52,    120=23∙3∙5,  150=2∙3∙52

Возьмем разложение большего числа 150 и дополним его двумя «двойками», так как в разложении числа 120 имеется три «двойки», а в разложении числа 150 – только одна.

НОК(75; 120; 150)=2∙3∙52∙2∙2=150∙4=600.

Ответ: НОК(75; 120; 150)=600.

Вывод: при нахождении НОК выписывают произведение всех простых (различных) множителей, имеющихся в разложениях этих чисел, причем, каждый из множителей берется с наибольшим из имеющихся показателей степеней.

 

Запись имеет метки: НОК

www.mathematics-repetition.com

Делители и кратные числа

Тема «Кратные числа» изучается в 5 классе общеобразовательной школы. Ее целью является совершенствование письменных и устных навыков математических вычислений. На этом уроке вводятся новые понятия - «кратные числа» и «делители», отрабатывается техника нахождения делителей и кратных натурального числа, умение находить НОК различными способами.

Эта тема является очень важной. Знания по ней можно применить при решении примеров с дробями. Для этого нужно найти общий знаменатель путем расчета наименьшего общего кратного (НОК).

Кратным А считается целое число, которое делится на А без остатка.

18:2=9

Каждое натуральное число имеет бесконечное количество кратных ему чисел. Наименьшим считается оно само. Кратное не может быть меньше самого числа.

Задача

Нужно доказать, что число 125 кратно числу 5. Для этого нужно первое число разделить на второе. Если 125 делится на 5 без остатка, то ответ положительный.

Все натуральные числа можно разделить на 1. Кратное является делителем для себя самого.

Как мы знаем, числа при делении называются «делимое», «делитель», «частное».

27:9=3,

где 27 – делимое, 9 – делитель, 3 – частное.

Числа, кратные 2, – это те, которые при делении на два не образуют остатка. К ним относятся все четные.

кратное число

Числа, кратные 3, – это такие, которые без остатка делятся на 3 (3, 6, 9, 12, 15…).

Например, 72. Это число кратно числу 3, потому что делится на 3 без остатка (как известно, число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3)

сумма 7+2=9; 9:3=3.

Является ли число 11 кратным 4?

11:4=2 (остаток 3)

Ответ: не является, так как есть остаток.

Общее кратное двух или более целых чисел - это такое, которое делится на эти числа без остатка.

К(8) = 8, 16, 24...

К(6) = 6, 12, 18, 24...

К(6,8) = 24

числа кратные 3

НОК (наименьшее общее кратное) находят следующим способом.

Для каждого числа необходимо отдельно выписать в строку кратные числа - вплоть до нахождения одинакового.

НОК (5, 6) = 30.

Данный способ применим для небольших чисел.

При расчёте НОК встречаются особые случаи.

1. Если необходимо найти общее кратное для 2-х чисел (например, 80 и 20), где одно из них (80) делится без остатка на другое (20), то это число (80) и есть наименьшее кратное этих двух чисел.

НОК (80, 20) = 80.

2. Если два простых числа не имеют общего делителя, то можно сказать, что их НОК – это произведение этих двух чисел.

НОК (6, 7) = 42.

Рассмотрим последний пример. 6 и 7 по отношению к 42 являются делителями. Они делят кратное число без остатка.

42:7=6

42:6=7

В этом примере 6 и 7 являются парными делителями. Их произведение равно самому кратному числу (42).

6х7=42

Число называется простым, если делится только само на себя или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Остальные называются составными.

В другом примере нужно определить, является ли 9 делителем по отношению к 42.

42:9=4 (остаток 6)

Ответ: 9 не является делителем числа 42, потому что в ответе есть остаток.

Делитель отличается от кратного тем, что делитель – это то число, на которое делят натуральные числа, а кратное само делится на это число.

Наибольший общий делитель чисел a и b, умноженный на их наименьшее кратное, даст произведение самих чисел a и b.

А именно: НОД (а, b) х НОК (а, b) = а х b.

Общие кратные числа для более сложных чисел находят следующим способом.

Например, найти НОК для 168, 180, 3024.

Эти числа раскладываем на простые множители, записываем в виде произведения степеней:

168=2³х3¹х7¹

180=2²х3²х5¹

3024=2⁴х3³х7¹

Дальше выписываем все представленные основания степеней с самыми большими показателями и перемножаем их:

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

НОК (168, 180, 3024) = 15120.

fb.ru

Наименьшее общее кратное трех чисел. Как найти наименьшее общее кратное трех чисел? Найдите наименьшее общее кратное чисел 168, 231 и 60

Наименьшее общее кратное трех чисел

Как найти наименьшее общее кратное трех чисел?

Примерно так, как находят наименьшее общее кратное двух чисел.

Наименьшее общее кратное трех чисел пример.

Найдите наименьшее общее кратное чисел 168, 231 и 60

Найти нок чисел 168, 231 и 60.

Как найти наименьшее общее кратное трех чисел 168, 231 и 60?

Сначала нужно разложить эти три числа на простые множители.

Разложить на простые множители число 231:

231  3
 77  7
 11  11
  1 

Разложение на простые множители числа 231:

231 = 3 * 7 * 11

Разложить на простые множители число 168:

168  3
 56  7
  8  2
  4  2
  2  2
  1 

Разложение на простые множители числа 168:

168 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7

Разложить на простые множители число 60:

60  3
20  2
10  5
 2  2
 1 

Разложение на простые множители числа 60:

60 = 2 * 2 * 3 * 5

Теперь берем разложение на простые множители числа 231:

3 * 7 * 11

и добавляем в него множители из разложений чисел 168 и 60, но только такие множители, которых нет в разложении 231.

Из разложения числа 168 добавим множители 2, 2, 2:

2 * 2 * 2 * 3 * 7 * 11

Из разложения числа 60 добавим множитель 5:

2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 7 * 11

Полученное произведение и есть наименьшее общее кратное чисел 168, 231 и 60:

2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 7 * 11 = 9240

Ответ: нок чисел 168, 231 и 60 равен 9240:

НОК(231, 168, 60) = 9240

www.sbp-program.ru

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ чисел, кратность чисел с примерами

Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.

Основные признаки делимости

Приведем основные признаки делимости чисел:

  • Признак делимости числа на «2» Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.
  • Признак делимости числа на «3» Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.
  • Признак делимости числа на «4» Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.
  • Признак делимости числа на «5» Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.
  • Признак делимости числа на «6» Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.
  • Признак делимости числа на «8» Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.
  • Признак делимости числа на «9» Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9.
  • Признак делимости числа на «10» Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0.
  • Признак делимости числа на «11» Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7.
  • Признак делимости числа на «25» Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.

Признаки делимости на составное число

Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители, признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа - это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.

Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.

Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.

worksbase.ru

определение, как найти, общая схема

 

Рассмотрим решение следующей задачи. Шаг мальчика составляет 75 см, а шаг девочки 60 см. Необходимо найти наименьшее расстояние, на котором они оба сделают по целому числу шагов.

Решение. Весь путь который пройдут ребята, должен делиться без остатка на 60 и на 70, так как они должны сделать каждый целое число шагов. Другими словами, в ответе должно быть число, кратное как 75 так и 60.

Сначала будем выписывать все кратные числа, для числа 75. Получаем:

  • 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675,  … .

Теперь выпишем числа, которые будут кратны 60. Получаем:

  • 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Теперь находим числа которые есть в обоих рядах.

  • Общими кратными чисел будут числа, 300, 600,  и т.д.

Самое наименьшее из них, это число 300. Оно в данном случае будет называться наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Возвращаясь к условию задачи, наименьшее расстояние, на котором ребята сделают целое число шагов будет 300 см. Мальчик пройдет этот путь за 4 шага, а девочке потребуется сделать 5 шагов.

Определение наименьшего общего кратного

  • Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел a и b называется наименьшее натуральное число, которое кратно как a, так и b.

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, не обязательно выписывть подряд все кратные для этих чисел. 

Можно воспользоваться следующим методом.

Как найти наименьшее общее кратное

Сначала необходимо разложить данные числа на простые множители.

Теперь выпишем все множители которые есть в разложении первого числа (2,2,3,5) и добавим к нему все недостающие множители из разложения второго числа (5).

Получим в итоге ряд простых чисел: 2,2,3,5,5. Произведение этих чисел и будет наименьшим общим сомножителем для данных чисел. 2*2*3*5*5 = 300. 

Общая схема нахождения наименьшего общего кратного

  • 1. Разложить числа на простые множители.
  • 2. Выписать простые множители которые входят в состав одного из них.
  • 3. Добавить к этим множителям все те, которые есть в разложении остальных, но нет в выбранном.
  • 4. Найти произведение всех выписанных сомножителей.

Данный способ универсален. С его помощью можно найти наименьшее общее кратное любого количества натуральных чисел. 

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Наибольший общий делитель (НОД): определение, как найти, схема Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspЧисловые выражения: примеры, значение, числовое равенство, правила

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Наименьшее общее кратное 3 чисел. Как найти наименьшее общее кратное 3 чисел? Найдите наименьшее общее кратное чисел 34, 51 и 68

Наименьшее общее кратное 3 чисел

Как найти наименьшее общее кратное 3 чисел?

Наименьшее общее кратное 3 чисел находится подобно тому, как находят наименьшее общее кратное 2 чисел.

Как находить наименьшее общее кратное 3 чисел рассмотрим на примере.

Наименьшее общее кратное чисел 34, 51, 68

Чтоб найти наименьшее общее кратное 3 чисел нужно разложить их на простые множители.

Разложить на простые множители число 68:

68  2
34  2
17  17
 1 

Разложение на простые множители числа 68:

68 = 2 * 2 * 17

Разложить на простые множители число 51:

Разложение на простые множители числа 51:

51 = 3 * 17

Разложить на простые множители число 34:

Разложение на простые множители числа 34:

34 = 2 * 17

Самым большим из наших 3 числе является число 68. Берем его разложение на простые множители:

2 * 2 * 17

и добавим в него множители из разложения числа 51 такие, которых нет в разложении числа 68. Это множитель 3:

2 * 2 * 3 * 17

Добавим в полученное произведение множители из разложения числа 34 такие, которых нет в полученном произведении. Таких множителей нет, поэтому ничего не добавляем.

Полученное произведение равно 204:

2 * 2 * 3 * 17 = 204

Число 204 есть наименьшее общее кратное чисел 34, 51, 68.

Ответ: нок чисел 34, 51, 68 равен 204:

НОК(68, 51, 34) = 204

www.sbp-program.ru