Как найти катет если известен угол и другой катет. Как найти угол если известны катеты


Катет "A" и угол "α" прямоугольного треугольника

Зная один из катетов в прямоугольном треугольнике, можно найти второй катет и гипотенузу используя тригонометрические отношения – синус и тангенс известного угла. Так как отношение противолежащего углу катета к гипотенузе равно синусу этого угла, следовательно, чтобы найти гипотенузу нужно катет разделить на синус угла. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Второй катет можно найти из тангенса известного угла, как отношение известного катета к тангенсу. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Чтобы вычислить неизвестный угол в прямоугольном треугольнике нужно из 90 градусов вычесть величину угла α. β=90°-α

Периметр и площадь прямоугольного треугольника через катет и противолежащий ему угол можно выразить, подставив полученные ранее выражения для второго катета и гипотенузы в формулы. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/(2 tan⁡α )

Вычислить высоту также можно через тригонометрические отношения, но уже во внутреннем прямоугольном треугольнике со стороной a, который она образует. Для этого нужно сторону a, как гипотенузу такого треугольника умножить на синус угла β или косинус α, так как согласно тригонометрическим тождествам они равнозначны. (рис. 79.2) h=a cos⁡α

Медиана гипотенузы равна половине гипотенузы или известному катету a, деленному на два синуса α. Чтобы найти медианы катетов, приведем формулы к соответствующему виду для известной стороны и углы. (рис.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α ) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α )/2=(a√(4 tan^2⁡α+1))/(2 tan⁡α ) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4b^2+a^2 )/2=√(4b^2+c^2-b^2 )/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin^2⁡α )/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α ))/2=(a√(3 sin^2⁡α+tan^2⁡α ))/(2 tan⁡α sin⁡α )

Так как биссектрисой прямого угла в треугольнике является произведение двух сторон и корня из двух, деленное на сумму этих сторон, то заменив один из катетов на отношение известного катета к тангенсу, получаем следующее выражение. Аналогично, подставив отношение во вторую и третью формулы, можно вычислить биссектрисы углов α и β. (рис.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α )=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/(tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c(a/tan⁡α +c) ))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c) ))/(a+c tan⁡α ) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)=(a√(2c(a+a/sin⁡α ) ))/(a+a/sin⁡α )=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α ) ))/(a sin⁡α+a)

Средняя линия проходит параллельно одной из сторон треугольника, при этом образуя еще один подобный прямоугольный треугольник с такими же по величине углами, в котором все стороны в два раза меньше, чем у изначального. Исходя из этого, средние линии можно найти по следующим формулам, зная только катет и противолежащий ему угол. (рис.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α ) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α )

Радиус вписанной окружности равен разности катетов и гипотенузы, деленной на два, а чтобы найти радиус описанной окружности, нужно разделить на два гипотенузу. Заменяем второй катет и гипотенузу на отношения катета a к синусу и тангенсу соответственно. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α )/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α ) R=c/2=a/2sin⁡α

geleot.ru

Катеты прямоугольного треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

В прямоугольном треугольнике, зная катеты, можно найти гипотенузу через теорему Пифагора. Для этого нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов катетов. с=√(a^2+b^2 )

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а периметр – сумме катетов и гипотенузы. S=ab/2 P=a+b+c=a+b+√(a^2+b^2 )

Углы в прямоугольном треугольнике найти, зная катеты, тоже невероятно просто. Отношение одного катета к другому будет тангенсом противоположного угла и котангенсом близлежащего. (рис. 79.1) tan⁡α=a/b cot⁡α=a/b

С другой стороны, зная один из углов, можно найти второй, отняв его из 90 градусов. α=90°-β

Высота у прямоугольного треугольника всего одна, и она относится к любому из катетов как косинус прилежащего к нему угла. (рис. 79.2) cos⁡α=h/b h=b cos⁡α cos⁡β=h/a h=a cos⁡β

Формула медианы в прямоугольном треугольнике преобразуется в отношение гипотенузы к двум или радикала из суммы квадратов катетов к двум, если даны только катеты. (рис. 79.3) m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2=√(2c^2-c^2 )/2=√(c^2 )/2=c/2=√(a^2+b^2 )/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2 m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4b^2+a^2 )/2

Биссектриса, опущенная на гипотенузу, вычисляется аналогично произвольному треугольнику, с подстановкой радикала вместо гипотенузы. (рис.79.4) l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)=√(ab((a+b)^2-с^2))/(a+b)=√(ab(a^2+2ab+b^2-a^2-b^2))/(a+b)=√(ab*2ab)/(a+b)=(ab√2)/(a+b) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b-c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)

Средние линии прямоугольного треугольника образуют внутри него еще один прямоугольный треугольник. Внутренний треугольник будет подобен внешнему, так как средние линии параллельны катетам и гипотенузе, и равны соответственно их половинам. Поскольку гипотенуза неизвестна, для нахождения средней линии M_c нужно подставить радикал из теоремы Пифагора. (рис.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2 M_c=c/2=√(a^2+b^2 )/2

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике вычисляется по упрощенной формуле для произвольного треугольника, а радиус описанной окружности является половиной гипотенузы и совпадает с медианой. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+b-√(a^2+b^2 ))/2 R=m=c/2=√(a^2+b^2 )/2

geleot.ru

Гипотенуза и угол "α" прямоугольного треугольника

Если в прямоугольном треугольнике известна гипотенуза и угол α, то можно сразу вычислить катеты и угол β из свойства суммы углов треугольника и отношений синуса и косинуса. (рис. 79.1) β=90°-α a=c sin⁡α b=c cos⁡α

Периметр, заданный суммой катетов и гипотенузы, можно представить в виде суммы известной гипотенузы и выраженных через нее катетов. P=a+b+c=c sin⁡α+c cos⁡α+c=c(sin⁡α+cos⁡α+1)

Площадь любого прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, следовательно, чтобы рассчитать площадь через гипотенузу и угол α, необходимо также заменить неизвестные на соответствующие выражения. S=ab/2=(sin⁡α cos⁡α)/2

Треугольник, в котором один угол прямой, будет иметь всего одну высоту, опущенную на гипотенузу. Из любого внутреннего прямоугольного треугольника, полученного с помощью дополнительного построения высоты, можно выразить ее, как произведение катета и синуса угла. (рис. 79.2) h=b sin⁡α=c cos⁡α sin⁡α

Найти медиану прямоугольного треугольника проще всего, если она опущена на гипотенузу, в таком случае она будет равна ее половине. Медианы катетов вычисляются по стандартным формулам с заменой переменных через гипотенузу. (рис.79.3) m_с=c/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2=√(4 〖c^2 sin^2〗⁡α+〖c^2 cos^2〗⁡α )/2=(с√(3 sin^2⁡α+1))/2 m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4 〖c^2 cos〗^2⁡α+sin^2⁡α )/2=(с√(3 cos^2⁡α+1))/2

Рассчитать биссектрисы прямоугольного треугольника тоже достаточно просто, если использовать специальные формулы, зная гипотенузу и угол α. Преобразуя выражения, можно упростить их до следующих тождеств. (рис. 79.4) l_с=(ab√2)/(a+b)=(c sin⁡α cos⁡α √2)/(sin⁡α+cos⁡α ) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c)=(c cos⁡α √(2c(c cos⁡α+c) ))/(c cos⁡α+c)=(c cos⁡α √(2(cos⁡α+1) ))/(cos⁡α+1) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)=(c sin⁡α √(2c(c sin⁡α+c) ))/(c sin⁡α+c)=(c sin⁡α √(2(sin⁡α+1) ))/(sin⁡α+1)

Проведенная средняя линия прямоугольного треугольника создает внутри него еще один подобный треугольник в два раза меньше первоначального, поэтому сама она равна половине параллельной ей стороны. (рис. 79.7) M_a=a/2=(c sin⁡α)/2 M_b=b/2=(c cos⁡α)/2 M_c=c/2

Прямоугольный треугольник может быть вписан в окружность и описан вокруг нее. Радиус вписанной окружности внутри треугольника можно вычислить, сложив катеты за вычетом гипотенузы, и разделив полученное число на два. Рассчитать радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника через гипотенузу еще проще, так как он равен ее половине. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(c sin⁡α+c cos⁡α-c)/2=c/2 (sin⁡α+cos⁡α-1) R=c/2

geleot.ru

Как найти катет если известен угол и другой катет

Площадь параллелограмма равна 181. Точка — середина стороны Найдите площадь трапеции. Решается аналогично прототипу: Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции AECB. Решение: Площадь параллелограмма равна произведению.

Как найти катет зная угол и гипотенузу?

Как определить (вычислить) катет в прямоугольном треугольнике, если известны угол и гипотенуза?

Один угол в прямоугольном треугольнике всегда 90 град., поэтому зная один из острых углов, всегда можно найти величину второго.

Значение длины катетов находится в зависимости от величины гипотенузы, коэффициентом между ними выступает синус или косинус угла, в зависимости от того, прилегающий это угол к катету или нет.

Рассмотрим случай, когда гипотенуза AB = 6см, один из углов между гипотенузой и катетом BC равен 60°. Нужно найти оба катета.

Тогда BC = AB*cos60° = AB*sin30° = 6*0,5 = 3 см

AC = AB*cos30° = AB*sin60° = 6*(√3/2) = 3√3 см

Проверяем правильность результатов

Найти катет в прямоугольном треугольнике, зная угол и гипотенузу, можно через синус угла или через косинус угла. Синус угла-это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а-катет, лежащий против данного угла, а с-гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c. Косинус угла-это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b-катет, прилежащий к данному углу, а с-гипотенуза. Преобразуем формулу и получим: b=cos*c.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Как найти катет если известен угол и другой катет

Как найти катет зная угол и гипотенузу?

Как определить (вычислить) катет в прямоугольном треугольнике, если известны угол и гипотенуза?

Один угол в прямоугольном треугольнике всегда 90 град., поэтому зная один из острых углов, всегда можно найти величину второго.

Значение длины катетов находится в зависимости от величины гипотенузы, коэффициентом между ними выступает синус или косинус угла, в зависимости от того, прилегающий это угол к катету или нет.

Рассмотрим случай, когда гипотенуза AB = 6см, один из углов между гипотенузой и катетом BC равен 60°. Нужно найти оба катета.

Тогда BC = AB*cos60° = AB*sin30° = 6*0,5 = 3 см

AC = AB*cos30° = AB*sin60° = 6*(√3/2) = 3√3 см

Проверяем правильность результатов

Найти катет в прямоугольном треугольнике, зная угол и гипотенузу, можно через синус угла или через косинус угла. Синус угла-это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а-катет, лежащий против данного угла, а с-гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c. Косинус угла-это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b-катет, прилежащий к данному углу, а с-гипотенуза. Преобразуем формулу и получим: b=cos*c.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Как найти катет если известен угол и другой катет

Как найти катет?

Катет — это одна из двух сторон прямоугольного треугольника, прилегающая к его прямому углу. Прямоугольный треугольник — это частный случай из всего многообразия треугольников, выделяющийся из него тем, что один из его углов прямой, то есть равный 90 градусам. Сторону противоположную прямому углу принято называть гипотенузой. Из все сторон прямоугольного треугольника гипотенуза имеет самую большую длину. Прилегающие к гипотенузе углы могут быть исключительно острыми и также часто используются для нахождения неизвестных катетов.

Необычные свойства прямоугольных треугольников были открыты древнегреческим ученым Пифагором, который обнаружил, что квадрат гипотенузу в таких треугольниках равен сумме квадратов катетов. Математически это можно представить в виде следующего выражения:

Где, с — длина гипотенузы;

A, b — величина соответствующих катетов.

Кроме теоремы Пифагора для нахождения величины катета могут быть использованы различные тригонометрические функции.

    в прямоугольном треугольнике синусом угла а называется отношение катета, противолежащего к данному углу, к гипотенузе;

Симметрично для другого угла данные функции можно представить в виде:

как найти катет если известен угол и другой катет

poiskvstavropole.ru

как найти катеты если известна гипотеуза и угол 45 градусов?

если угол 45 градусов, то треугольник мало того что имеет прямой угол, но еще и равнобедренный (катеты равны) . Обозначим длину катета как х, значит его гипотенуза в квадрате будет равна 2х в квадрате ( в квадрате только х) по теореме Пифагора. отсюда длина катетов равна корень из (гипотенуза в квадрате деленная на 2)

Катеты равны. Т. Пифагора.

х в квадрате + х в квадрате равно гипотенуза в квадрате и решаешь это уравнение то что угол 45 градусов то это знгачит что триугольник равнобедреный и соотв. катеты равны

треугольник получается равнобедренный, прямоугольный следовательно а^2+b^2=c^2 так как а = b 2a^2=c^2 a^2=c^2/2 ну а дальше сама

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов! Если один угол равен 45 градусов, а это прямоугольный треугольник, значит второй угол тоже 45, значит катеты равны, тогда по теореме пифагора (см выше) получим: АВ^2 = BC^2+AC^2 = 2 BC^2 BC = sgrt (AB^2 / 2 ) BC = АС

touch.otvet.mail.ru

Как найти углы прямоугольного треугольника, если известны стороны?

через синус косинус тангенс В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению катета, лежащего напротив этого угла (противолежащего катета) , к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению катета, выходящего из этого угла (прилежащего катета) , к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. при этом один угол, по любому, 90 градусов

синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длин противолежащего катета к гипотенузе

через тангесы катангесы косинусы и синусы

тангенс угла прямоуг треуг равен отношению противолежащего катета к прилежащему

Ну один из углов 90 градусов как прямой. Пусть одна сторона равна А вдругая В а гипотенуза С Тогда угол напротив стороны А равен arcsin (A / C), а напротив стороны В равен arcsin (B / C)

через синусы и косинусы По теореме косинусов : a^2 = b^2 + c^2 W22; 2bccos(A). 16 = 25 + 36 - 60 cos(A) cos(A) = 3/4 25 = 16 + 36 - 48 cos(B) cos(B) = 9/16 36 = 16 + 25 - 40 cos(C) cos(C) = 1/8

touch.otvet.mail.ru

Как найти катеты если известна гипотенуза

Есть три варианта решения этой задачи. Первый - если в условиях задачи дано, что катеты равны (по сути, мы имеем прямоугольный равнобедренный треугольник). Второй - если еще дан какой-то угол (кроме угла в 45%, тогда мы имеем тот же равнобедренный треугольник и возвращаемся к первому варианту). И третий - когда известен один из катетов. Рассмотрим данные варианты подробнее.

Как найти равные катеты, при известной гипотенузе

  • гипотенуза (обозначим ее буквой c) равна х см: c=x,
  • первый катет (обозначим его буквой a) равен второму катету ((обозначим его буквой b): a=b,

В этом варианте решение задачи основывается на использовании теоремы Пифагора. Ее применяют к прямоугольным треугольникам и основной ее вариант звучит, как: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Так, как катеты у нас равны, то мы можем обозначать оба катета одним и тем же сиволом: a=b, значит - a=a.

  1. Подставляем наши условные обозначения в теорему (с учетом вышеизложенного):c^2=a^2+a^2,
  2. Далее максимально упрощаем формулу:с^2=2*(a^2) - группируем,с=√2*а - подносим обе части уравнения к квадратному кореню,a=c/√2 - выносим искомое.
  3. Подставлем данное значение гипотенузы и получаем решение:a=x/√2

Как найти катеты, при известной гипотенузе и угле

  • гипотенуза (обозначим ее буквой c) равна х см: c=x,
  • угол β равный q: β=q,

Для решения этой задачи необходимо использовать тригонометрические функции. Найболее популярны две из них:

  • функция синуса - синус искомого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе,
  • функция косинуса - косинус искомого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе,

Вы можете использовать любую. Я наведу пример с использованием первой. Пусть катеты у нас обозначаються символами a (прилежащий к углу) и b (противолежащий к углу). Соответственно наш угол лежит между катетом a и гипотенузой.

  1. Подставляем выбранные условные обозначения в формулу:sinβ = b/c
  2. Выводим катет:b=c*sinβ
  3. Подставляем наши данный и имеем один катет.b=c*sinq

Второй катет можно найти воспользовавшись второй тригонометрической функцией, или же перейти к третьему варианту.

Как найти один катет, если известна гипотенуза и другой катет

  • гипотенуза (обозначим ее буквой c) равна х см: c=x,
  • катет (обозначим его буквой b) равен y см: b=y,
  • размер другого катета (обозначим его буквой a),

В этом варианте решением задачи, как и в первом, является использование теоремы Пифагора.

  1. Подставляем наши условные обозначения в теорему:c^2=a^2+b^2,
  2. Выносим необходимый катет:a^2=c^2-b^2
  3. Подносим обе части уравнения к квадратному кореню:a=√(c^2-b^2)
  4. Подставляем данные значения и имеем решение:a=√(x^2-y^2)

how.qip.ru