Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку. Написать уравнение плоскости проходящей через точку и через прямую


31. Плоскость, проходящая через прямую и точку

Пусть даны точка и прямая, заданная уравнением

. Требуется найти уравнение проходящей через них плоскости. (Точка не лежит на данной прямой). Из уравнения данной прямой находим координаты точки .

Пусть - произвольная точка плоскости . При любом ее выборе направляющий вектор прямой и векторы

и

лежат в одной плоскости и поэтому их смешанное произведение равно нулю:

Раскрывая определитель, получим уравнение искомой плоскости.

Совершенно так же найдем уравнение плоскости, проходящей через две параллельные или пересекающиеся прямые: на одной из них берется любая точка (не лежащая на другой прямой), и плоскость проводится через вторую прямую и точку .

Пример. Провести плоскость через прямую и точку .

Решение. Убедимся, что точка не лежит на прямой, данной в условии

Из уравнения данной прямой следует, что точка лежит на этой прямой. Пусть - произвольная точка искомой плоскости, тогда векторы , и компланарны. Следовательно,

Раскроем определитель:

Таким образом искомая плоскость имеет уравнение

< Предыдущая Следующая >
 

matica.org.ua

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана прямая a и точка , не лежащая на прямой a. Поставим перед собой задачу: получить уравнение плоскости , проходящей через прямую a и точку М3.

Сначала покажем, что существует единственная плоскость, уравнение которой нам требуется составить.

Напомним две аксиомы:

  • через три различные точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость;

  • если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Из этих утверждений следует, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести единственную плоскость. Таким образом, в поставленной нами задаче через прямую a и точкуM3 проходит единственная плоскость , и нам требуется написать уравнение этой плоскости.

Теперь приступим к нахождению уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую a и точку .

Если прямая a задана через указание координат двух различных точек М1 и М2, лежащих на ней, то наша задача сводится к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки М1, М2 и М3.

Если же прямая a задана иначе, то нам сначала придется найти координаты двух точек М1 и М2, лежащих на прямой a, а уже после этого записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1, М2 и М3, которое и будет искомым уравнением плоскости, проходящей через прямую aи точку М3.

Разберемся, как найти координаты двух различных точек М1 и М2, лежащих на заданной прямойa.

В прямоугольной системе координат в пространстве любой прямой линии соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве. Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет получить ее параметрические уравнения прямой в пространстве вида . Тогда, приняв , имеем точку , лежащую на прямой a. Придав параметру отличное от нуля действительное значение, из параметрических уравнений прямой a мы сможем вычислить координаты точки М2, также лежащей на прямой a и отличной от точки М1.

После этого нам останется лишь написать уравнение плоскости, проходящей через три различных и не лежащих на одной прямой точки и , в виде .

Итак, мы получили уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую a и заданную точку М3, не лежащую на прямой a.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

Прежде чем приступать к нахождению уравнения плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся прямые, напомним одну теорему: в трехмерном пространстве через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Это утверждение является следствием из двух аксиом геометрии:

  • через три различные и не лежащие на одной прямой точки проходит единственная плоскость;

  • если две несовпадающие точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Таким образом, конкретную плоскость в трехмерном пространстве можно задать, указав две пересекающиеся прямые, лежащие в этой плоскости.

Теперь покажем, что плоскость, проходящая через две заданные пересекающиеся прямые, совпадает с плоскостью, проходящей через три различные точки, две из которых лежат на одной из заданных прямых, а третья – на другой прямой.

Пусть заданные прямые a и b пересекаются в точке М. Отметим на прямой a две различные точки М1 и М2 (одна из них может совпадать с точкой M), а на прямой b точку М3, отличную от точки М. Покажем, что плоскость М1М2М3 есть плоскость, проходящая через заданные пересекающиеся прямые a и b.

Так как в плоскости М1М2М3 лежат две точки прямой a (точки М1 и М2), то из озвученной в начале этого пункта аксиомы следует, что все точки прямой a лежат в плоскости М1М2М3, в частности, точка М. Тогда в плоскости М1М2М3 лежат все точки прямой b, так как две несовпадающие точки прямой b (точки М и М3) лежат в указанной плоскости. Следовательно, плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые a и b, и плоскость, проходящая через три точки М1, М2 и М2, совпадают.

Итак, поставим перед собой следующую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, заданы две пересекающиеся прямые a и b, и требуется написать уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые a и b.

Сведем решение этой задачи к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три точки. Для этого нужно определить координаты двух различных точек M1 и M2, лежащих на одной из заданных пересекающихся прямых, и координаты точки M3, лежащей на другой прямой и не являющейся точкой пересечения заданных прямых. Для нахождения координат точек М1, М2 иМ3 все средства хороши. Например, можно получить параметрические уравнения прямой a в пространстве вида . Из них видны координатыточкиМ1 (они получаются при ), а координаты точкиМ2 можно вычислить, придав параметру любое ненулевое действительное значение (к примеру,). После этого можно получить параметрические уравнения прямойb и при некотором значении параметра вычислить координаты точки М3, не забыв удостовериться, что она не является точкой пересечения заданных прямых (что она не лежит на прямой a).

Будем считать, что координаты точек М1, М2 и М3 найдены. После этого мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три точки ив виде. Вычисливопределитель матицы вида , мы получимобщее уравнение плоскости М1М2М3, которое и будет уравнением плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые a и b.

studfiles.net

Уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости, задаётся равенством нулю смешанного произведения вектора-разности радиусов-векторов точек, направляющего вектора прямой и нормали к плоскости.

Введём обозначения:

[math]\bar r=(x,y,z)[/math] — радиус-вектор точки плоскости;

[math]\bar r_1=(x_1,y_1,z_1)[/math] — радиус-вектор точки прямой;

[math]\bar s_1=(l_1,m_1,n_1)[/math] — направляющий вектор прямой;

[math]\bar n_2=(A_2,B_2,C_2)[/math] — нормаль к плоскости;

[math]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0[/math] — уравнение плоскости.

Векторная форма:

Координатная форма:

[править] Уравнения плоскости:

  • уравнение плоскости, проходящей через три точки;
  • уравнение плоскости, равноудалённой от двух точек;
  • уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой;
  • уравнение плоскости, проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
  • уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую;
  • уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой;
  • уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости;
  • уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым;
  • уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
  • уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой;
  • уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.

cyclowiki.org

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной заданной плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения плоскости, введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной заданной плоскости − теория, примеры и решения

Пусть задана точка M0(x0, y0, z0) и уравнение плоскости

Наша задача найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и параллельной плоскости (1)(Рис.1).

Все параллельные плоскости имеют коллинеарные нормальные векторы. Поэтому для построения параллельной к (1) плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) нужно взять в качестве нормального вектора искомой плоскости, нормальный вектор n=(A, B, C) плоскости (1). Далее нужно найти такое значение D, при котором точка M0(x0, y0, z0) удовлетворяла уравнению плоскости (1):

Решим (2) относительно D:

Подставляя значение D из (3) в (1), получим:

Уравнение (4) можно представить также в следующем виде:

Уравнение (5) является уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и параллельной плоскости (1).

Пример 1.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, −6, 2) и параллельной плоскости :

Решение.

Запишем коэффициенты нормального вектора плоскости (6):

Подставляя координаты точки M0 и координаты нормального вектора в (3), получим:

Подставляя значения A, B, C, D в уравнение плоскости (1), получим:

Уравнение плоскости можно представить в более упрощенном виде, умножив на 4:

Ответ.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, −6, 2) и параллельной плоскости (6) имеет следующий вид:

matworld.ru

Уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно прямой

1. Найти уравнение плоскости, которая проходит через точку , перпендикулярно прямой .

Решение.

Прямая  имеет направляющий вектор . Плоскость, перпендикулярная прямой  , также перпендикулярна ее направляющему вектору. То есть вектор  является нормальным для искомой плоскости.

Уравнение плоскости, которая проходит через точку $(x_0, y_0, z_0)$ перпендикулярно вектору $(A, B, C)$ имеет вид

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.$

Уравнение плоскости, которая проходит через точку $(x_0, y_0, z_0)$ перпендикулярно вектору $(A, B, C)$ имеет вид

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.$

Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору :

 

Ответ: 

 

2.   Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку  и параллельной плоскости :.

Решение.

Нормали параллельных плоскостей равны.

 – уравнение плоскости, которая проходит через заданную точку   перпендикулярно вектору .

 Уравнение искомой плоскости:

 

Ответ: .

 

kontrolnye.com

4

                             

7.

1.

   1. ,     .

. , .   .

: ― , ― .

 

2. :

a)               ;

b)             ,   ;

c)               .

.

a)             . , , .

 , , .

 

b)             , , ,  ― .

.

 

c)             , , .

3. ,   .

  . , , .

  : .

4.   , . .

  . , . , , .

  : .

5. , ,   .

  . , , , .

1)  ― , .

 2) .. .

  : .

 

6. ,  

  . , , .

, .. ,  ― .

  : .

 

gm.chgpu.edu.ru

Уравнение плоскости, которая проходит через точку и прямую. : Чулан

написать уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(3;1;-2)$ и прямую $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z}{1}$.

Правильно ли я решил?

Можно переписать уравнение прямой в виде$\dfrac{x-1}{6-1}=\dfrac{y+3}{-1+3}=\dfrac{z-0}{1-0}$

Поэтому прямая проходит через две точки!

$M_1(1,-3,0)$$M_2(6,-1,1)$

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

$$
\begin{array}{l}
\begin{vmatrix}
x-3&y-1&z+2\\
1-3&-3-1&0+2\\
6-3&-1-1&1+2\\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
x-3&y-1&z+2\\
-2&-4&2\\
3&-2&3\\
\end{vmatrix}=(x-3)\begin{vmatrix}
-4&2\\
-2&3\\
\end{vmatrix}-(y-1)
\begin{vmatrix}
-2&2\\
3&3\\
\end{vmatrix}+
(z+2)
\begin{vmatrix}
-2&-4\\
3&-2\\
\end{vmatrix}
=\\[16pt]
%
=(x-3)(-12+4)-(y-1)(-6-6)+(z+2)(4+12)=-8(x-3)+12(y-1)+16(z+2)=\\[10pt]
%
=-8x+12y+16z+24-12+32=-8x+12y+16z+44=0
\end{array}
$$

dxdy.ru