3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Решение 3 систем с 3 неизвестными


Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Решить {$ main.types[data.type] $}

Введите уравнение * x + =

Введите уравнение * x2 + * x + =

Введите уравнение
  • * x3 +
  • * x2 +
  • * x +
  • =
Введите уравнение
  • * x4 +
  • * x3 +
  • * x2 +
  • * x +
  • =

Введите уравнения * x + * y + =

* x + * y + =

Введите уравнения * x + * y + * z =

* x + * y + * z =

* x + * y + * z =

Рассчитать Очистить

{$ error $}!

Результаты расчета

A-1 {$ result.IA[0][0]|number $} {$ result.IA[0][1]|number $} {$ result.IA[0][2]|number $} * {$ result.B[0][0]|number $} = {$ result.x|number $}
{$ result.IA[1][0]|number $} {$ result.IA[1][1]|number $} {$ result.IA[1][2]|number $} {$ result.B[1][0]|number $} {$ result.y|number $}
{$ result.IA[2][0]|number $} {$ result.IA[2][1]|number $} {$ result.IA[2][2]|number $} {$ result.B[2][0]|number $} {$ result.z|number $}
  • x = {$ result.x|number $}
  • y = {$ result.y|number $}
  • z = {$ result.z|number $}

Результаты расчета

  • x1 = {$ main.FormatResult(result.x1) $}
  • x2 = {$ main.FormatResult(result.x2) $}
  • x3 = {$ main.FormatResult(result.x3) $}
  • x4 = {$ main.FormatResult(result.x4) $}

Значение дискриминанта: b2 − 4 * a * c = {$ result.d|number $}

bbf.ru

3. Решение систем линейных алгебраических уравнений

3.1. Основные методы

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

,

где - переменные,и- некоторые числа, известные коэффициенты.

Упорядоченный набор чисел называютрешением системы, если каждое из уравнений этой системы обращается в верное равенство после подстановки вместо неизвестных соответствующих чисел,. Система, имеющая, хотя бы одно решение, называетсясовместной, не имеющая решений – несовместной. Если решений более одного, то систему называют неопределённой, если ровно одно, - определённой.

3.1.1. Правило Крамера.

Правило Крамера. Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

Обозначим через – определитель, он называется главным определителем системы, через –вспомогательный определитель, который получается из главного путём замены k-го столбца на столбец свободных членов. Так, например, . Тогда справедливо следующее утверждение: значение k-й неизвестной равно дроби, в числителе которой находится вспомогательный определитель , в знаменателе – главный определитель системы, т.е.

, . (2)

Оно и называется правилом Крамера.

Замечание. Правило Крамера применимо, если главный определитель системы (1) не равен нулю, т.е., если . В этом случае система имеет единственное решение и оно может быть получено по правилу (2).

3.1.2. Метод Гаусса.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) позволяет привести произвольную систему линейных уравнений с n неизвестными к треугольному виду. Преобразования, которые при этом необходимо произвести, включают в себя:

  • перестановку двух уравнений,

  • умножение одного из уравнений на ненулевое число,

  • прибавление к одному из уравнений другое, умноженное на некоторое число.

При практическом решении систем удобно пользоваться табличной (матричной) записью системы:

.

Следует выписать матрицу коэффициентов при неизвестных системы, присоединить к ней столбец из свободных членов, для удобства отделённый вертикальной чертой, и все преобразования выполнять над строками этой «расширенной» матрицы.

Пример 1. Решить систему: .

Решение.

Шаг 1. Представим систему в виде таблицы: .

Шаг 2. «Обнулим» коэффициенты при во втором и третьем уравнениях. Для этого первую строку, умноженную на 2, вычтем из второй, а к третьей строке прибавим первую:

.

Шаг 3. «Обнулим» теперь коэффициент при в третьей строке. Для этого, - новую вторую строку, умноженную на 3, прибавим к третьей:

.

В результате получили итоговую таблицу. Процедуру приведения исходной системы уравнений к такому виду в литературе иногда называют прямым ходом. Перейдем к изложению обратного.

Шаг 4. Представим полученную систему уравнений в обычном виде:

.

Шаг 5. Из последнего уравнения найдем переменную z, подставив ее во второе,- найдем переменную y, наконец, из первого уравнения найдем переменную x. Таким образом, имеем

Данная система имеет единственное решение . Исходная система оказалась совместной, определённой.

Ответ: (-1;2;1).

Пример 2. Решить систему: .

Решение.

Шаг 1. Представим систему в виде таблицы: .

Шаг 2. Обнулим коэффициенты при в двух строках. Первоначально, для удобства, поменяем местами первую и третью строки. Затем к первой строке, умноженной на (-2) прибавим вторую и к первой строке, умноженной на (-3), прибавим третью

.

Шаг 3. Обратим внимание, что при дальнейшем преобразовании (умножение второй строки на (-1) и прибавление третьей), последняя строка обнуляется:

.

Шаг 4.Перейдём обратно от таблицы к системе уравнений:

Шаг 5. Решим полученную систему уравнений.

.

Получили выражения неизвестных ичерез, так называемые,свободную неизвестную :,, где - произвольное число. Эти соотношения описывают множество решений системы и оно называетсяобщим решением системы. Таким образом , в данном случае исходная система оказалась совместной и неопределённой.

Ответ: (;;), где - любое число.

Пример 3. Решить систему: .

Решение.

Шаг 1. Представим систему в виде таблицы: .

Шаг 2. Обнулим коэффициенты при во втором и третьем уравнениях. Для этого первую строку, умноженную на (-2), прибавим ко второй, а к третьей строке прибавим первую, умноженную на (-3):

..

Шаг 3. Обнулим коэффициент при в третьей строке. Для этого новую вторую строку, умноженную на 3, прибавим к третьей:

.

Шаг 4.Перейдём теперь от таблицы к системе уравнений:

Обратим внимание, что третье уравнение системы представляет собой неверное равенство, следовательно, система не имеет решений, т.е. является несовместной.

Ответ: решений нет.

studfiles.net

Перемножение матриц

Перемножим вначале матрицу А = (3 -5 4) на матрицу столбец . Найдем результирующую матрицу С = АВ. Для этого надо элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и сложить . Теперь найдем произведение более сложных матриц АВ.

Найдем

Таким образом , а теперь перемножим . В этом случае

В этом случае . Т.е. . Такие матрицы называются неперестановочными. Если же , то матрицы А и В называются перестановочными.

Найдем теперь . Умножаем поочереди строки матрицы А на столбцы В.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее распространенных методов решений систем линейных уравнений есть метод последовательного исключения неизвестных. Он предложен К. Гауссом и основан на элементарных преобразованиях системы уравнений. Рассмотрим его на примерах.

1)

Исключим из 2-го и 3-го уравнений «х». Для этого из 2-ой строки отнимем первую, умноженную на 3. А из 4-ой строки тоже отнимем первую, умноженную на 4.

Мы получили ступенчатую или трапециеподобную систему. Начинаем ее решение снизу

Проверка:

На практике приводят к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу (т.е. с присоединением столбца из свободных членов). Вычитание строк матриц равнозначно вычитанию уравнений.

Пример 2

Начинаем решение с последнего уравнения

;

Проверка: .

Пример 3

Отсюда получаем

Проверка:

Нередко при преобразовании строк отпадает необходимость преобразовывать последнюю строку. При этом во второй строке получаем одно уравнение с одним неизвестным.

Пример 4

В таких случаях начинаем со 2-ой строки .

Далее

Проверка:

Во всех рассмотренных случаях система имела единственное решение, так как в системе всегда получалось одно уравнение с одним неизвестным.

В случае неопределенной системы, в которой число неизвестных больше числа уравнений (т.е. когда получаем бесконечное количество решений) последнее уравнение всегда включает больше одного неизвестного.

Например

Здесь мы имеем два уравнения и три неизвестных. Поэтому данная система имеет бесконечное число решений.

Иногда в решении методом Гаусса мы получаем хотя бы одно уравнение типа . Это означает, что в этом уравнении все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а правая часть ≠ 0. Такая система несовместна, т.е. не имеет решений.

Например

в результате получаем 3 уравнения

Из последнего уравнения следует, что система несовместна, т.е. не имеет решений.

Решение систем 3-х уравнений с 3-мя неизвестными с помощью формул Крамера

Вспомним, что если мы имеем определитель

, то

Теперь рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными x, y, z.

(1) Здесь ai, bi, ci – постоянные величины. di – свободный член.

Пусть определитель этой системы не равен нулю

. Умножим вначале первое из уравнений (1) на А1, второе на А2 и третье на А3 и сложим их

Отсюда находим

В числителе мы получим определитель в котором первый столбец с элементами аi заменяем на столбец из свободных членов

Теперь умножим 1-е уравнение системы (1) на В1, второе на В2 и третье на В3 и сложим

Правую часть этого уравнения можно записать, заменив в определителе столбец bi на столбец di

. Тогда или (3)

Теперь умножим три уравнения системы (1) на С1, С2 и С3

(4)

Например:

В начале вычисляем

Теперь определяем , путем замены первого столбца столбцом свободных членов

Теперь вычисляем

Находим

После этого вычисляем

Проверка и.т.д.

Рассмотрим другой пример

находим теперь ;

;

Проверка:

Теперь предположим, что мы имеем систему четырех уравнений

Сначала находим определители

Если , то

Аналогично решается система с 5 уравнениями и.т.д.

studfiles.net

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Алгебра

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

      Определение 1. Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение, имеющее вид

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Определение 2. Решением уравнения (1) называют пару чисел   (x ; y) ,   для которых формула (1) является верным равенством.

      Пример 1. Найти решение уравнения

      Решение. Выразим из равенства (2) переменную   y   через переменную   x :

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными(3)

      Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

где   x   – любое число.

      Замечание. Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Однако важно отметить, что не любая пара чисел   (x ; y)   является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число   x   можно взять любым, а число   y   после этого вычислить по формуле (3).

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

      Определение 3. Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными   x   и   y   называют систему уравнений, имеющую вид

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы(4)

где   a1 ,  b1 ,  c1 ,  a2 ,  b2 ,  c2   – заданные числа.

      Определение 4. В системе уравнений (4) числа   a1 ,  b1 ,  a2 ,  b2   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   c1 ,  c2  – свободными членами.

      Определение 5. Решением системы уравнений (4) называют пару чисел   (x ; y) ,   являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).

      Определение 6. Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными), если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.

      Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы»

      Системы линейных уравнений решают с помощью метода последовательного исключения неизвестных, который мы проиллюстрируем на примерах.

      Пример 2 . Решить систему уравнений

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы(5)

      Решение. Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное   х.

      С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном   x   в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.

      Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при   x   во втором уравнении (число   7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при   x   в первом уравнении (число   2 ), то система (5) примет вид

 

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы(6)

      Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Из второго уравнения находим   y = 3 ,   и, подставив это значение в первое уравнение, получаем

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Ответ.   (–2 ; 3) .

      Пример 3. Найти все значения параметра   p ,   при которых система уравнений

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы(7)

      а) имеет единственное решение;

      б) имеет бесконечно много решений;

      в) не имеет решений.

      Решение. Выражая   x   через   y   из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо   x   в первое уравнение системы (7), получим

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Следовательно, система (7) равносильна системе

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы(8)

      Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра   p .   Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):

y (2 – p) (2 + p) = 2 + p(9)

      Если   системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы,   то уравнение (9) имеет единственное решение

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Следовательно, система (8) равносильна системе

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Таким образом, в случае, когда   системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы,   система (7) имеет единственное решение

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Если   p = – 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными,

и его решением является любое число линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными. Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными,

где   y   – любое число.

      Если   p = 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет.

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

      Определение 7. Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными   x ,   y     и   z   называют систему уравнений, имеющую вид

коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными(10)

где   a1 ,  b1 ,  c1 ,  d1 ,  a2 ,  b2 ,  c2 ,  d2 ,  a3 ,  b3 ,  c3 ,  d3   – заданные числа.

      Определение 8. В системе уравнений (10) числа   a1 ,  b1 ,  c1 ,  a2 ,  b2 ,  c2 ,  a3 ,  b3 ,  c3   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   d1 ,  d2 ,  d3   – свободными членами.

      Определение 9. Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел   (x ; y ; z) ,   при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.

      Пример 4 . Решить систему уравнений

коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными(11)

      Решение. Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных.

      Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное   y ,  совершив над системой (11) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
  • из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему

коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными(12)

      Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное   x ,  совершив над системой (12) следующие преобразования:

  • первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
  • из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему

коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными(13)

      Из системы (13) последовательно находим

z = – 2 ;   x = 1 ;   y = 2 .

      Ответ.   (1 ; 2 ; –2) .

      Пример 5. Решить систему уравнений

коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными(14)

      Решение. Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие, сложив все три уравнения системы:

      Если числа   (x ; y ; z)   являются решением системы (14), то они должны удовлетворять и уравнению (15). Однако в таком случае числа   (x ; y ; z)   должны также быть решением системы, которая получается, если из каждого уравнения системы (14) вычесть уравнение (15):

коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

      Поскольку мы использовали следствие из системы (14), не задумываясь о том, являются ли сделанные преобразования системы (14) равносильными, то полученный результат нужно проверить. Подставив тройку чисел   (3 ; 0 ; –1)   в исходную систему (14), убеждаемся, что числа   (3 ; 0 ; –1)   действительно являются ее решением.

      Ответ:   (3 ; 0 ; –1) .

      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы с нелинейными уравнениями» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Система 3 уравнений с 3 неизвестными как решить?

Дальше не бред, а можно решить методом сложения (умножить 1 уравнение на -19, а второе на 5 и сложить, останется одна переменная зет, ее найдешь, затем найдешь у, затем х. Учись сразу решать методом исключения переменных (метод Гаусса) . Сначала исключаем переменную х. Первое уравнение переписываешь ( за первое лучше взять второе х+3у-зет=1). Затем умножаешь его на -2 и складываешь со вторым (чтобы переменная х ушла) , записываешь. Вместо третьего уравнения тоже записываешь сумму (первое умножаешь на -7 и складываешь с третьим) . Затем первое и второе уравнения переписываешь, а вместо третьего записываешь сумму (второе умножаешь на -19, третье на 5 и складываешь, чтобы переменная у ушла) . В третьем уравнении остается одна переменная зет, ее находишь. Затем ее значение подставляешь во второе уравнение и находишь у. Затем значения зет и у подставляешь в первое уравнение и находишь х. Таким методом можно решать системы не только трех уравнений, но и больше.

Не просто сложения, а алгебраического сложения!

Математика... японская... :D

touch.otvet.mail.ru

Решение систем уравнений с 3 неизвестными

Решение систем уравнений с 3 неизвестными

Приводим подобные члены в первом и во втором уравнении.

Из уравнения 1 выразим переменную z

Преобразуем уравнение.

Изменяем порядок действий.

Подставим вместо переменной z найденное выражение.

В третьем уравнении найдём

Привежёи подобные слагаемые .

Приводим подобные члены.

Выносим общий множитель.

Из уравнения 3 выразим переменную x.

Теперь мы можем найти x

Подставим вместо переменной x  найденное выражение.

Из уравнения 2  выразим переменную y

Окончательный ответ: .

X=1

Y=-27

Z=-32

Решим ещё одну систему уравнений

Из уравнения выразим переменную.

Преобразуем уравнение.

Изменяем порядок действий.

Подставим вместо переменной найденное выражение.

Преобразуем уравнение.

Выносим знак минус из произведения.

Раскрываем скобки.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Преобразуем уравнение.

Выносим знак минус из произведения.

Раскрываем скобки.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Из уравнения выразим переменную.

Преобразуем уравнение.

Изменяем порядок действий.

Подставим вместо переменной найденное выражение.

Решаем вспомогательное уравнение.

Перенесем все в левую часть.

Приводим подобные члены.

Раскрываем скобки.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Ответ вспомогательного уравнения:.

Следующая система эквивалентна предыдущей.

Окончательный ответ:

X=10/3

Y= 6

Z=10/3

Запись создана: Понедельник, 20 Август 2018 в 1:24 и находится в рубриках Алгебраические преобразования, уравнения, неравенства. Вы можете следить за комментариями к этой записи через ленту RSS 2.0. Комментарии и уведомления в настоящее время закрыты.

testmath.ru

Уравнение с тремя неизвестными

1. Одно уравнение с тремя неизвестными.

Рассмотрим, например, такое уравнение с тремя неизвестными:

     15x + 10y + 8z = 164.     (1)

Можно показать, что уравнение (1) имеет бесконечное множество решений. Действительно, взяв для x и y какие-либо произвольные числа, например x = 2, y = 5, и подставив эти значения в уравнение, получим:

15 * 2 + 10 * 5 + 8z = 164,

или

80 + 8z = 164.

Откуда найдем:

Дав другие произвольные значения x и y, получим другое значение для z и т. д.

Итак, одно уравнение с тремя неизвестными имеет (в общем случае) бесконечное множество решений.

2. Система двух уравнений с тремя неизвестными.

Теперь рассмотрим систему двух уравнений с тремя неизвестными.

Присоединим к уравнению (1), например, следующее уравнение:

     x + y + z = 16.    (2)

Итак, имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными. Покажем, что и эта система имеет бесконечное множество решений. Убедимся подстановкой, что системе удовлетворяют, например, следующие тройки чисел:

1) x = 2, y = 11, z = 3; 2) x = 4, y = 4, z = 8.

Дадим теперь одному из неизвестных, хотя бы x, какое-либо произвольное значение, например . Подставив это значение в уравнения (1) и (2), получим:

Решив эту систему, найдем:

Итак, система имеет еще решения:

Взяв за x другое значение, получим новую систему с двумя неизвестными, из которой найдем y и z, и т. д.

Значит, вообще говоря, система двух уравнений с тремя неизвестными тоже имеет бесконечное множество решений.

Однако можно привести пример системы, не имеющей ни одного решения, например:

Какие бы значения ни имели x, y и z, выражение x – y + 2z не может одновременно быть равно 5 и 7.

mthm.ru